本文介绍了阶乘和双阶乘的概念，通过数学归纳法证明了2n的阶乘和双阶乘不相等。
在数学中，阶乘是一个非常重要的概念。对于任意自然数n，n的阶乘表示为n!，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。双阶乘是指形如n!!的数，其定义如下：
- 当n为正偶数时，n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 × 1
- 当n为正奇数时，n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 3 × 1
- 当n=0时，0!!=1
那么问题来了，2n的阶乘和双阶乘是否相等呢？
双阶乘与阶乘的比较
我们可以通过数学归纳法来证明：
- 当n=0时，显然2n的阶乘和双阶乘都等于1。
- 当n=1时，2n的阶乘等于2，双阶乘等于1，仍然成立。
- 假设当n=k时，2n的阶乘等于(k!)²，双阶乘等于(2k-1)!!。
- 当n=k+1时，2n的阶乘等于2(k+1)×k!，双阶乘分为两种情况：
- 当k为奇数时，2k为偶数，所以(2k)!!=(2k)×(2k-2)×...×4×2=k!(k+1)。因此，(2k+1)!!=(2k+1)×(2k-1)×...×3×1=(2k+1)k!(k+1)=(2k+1)2n/(k+1)。
- 当k为偶数时，2k+1为奇数，所以(2k+1)!!=(2k+1)×(2k-1)×...×3×1=(2k+1)!!=(2k+1)k!。
由此可知，2n的阶乘和双阶乘并不相等。
结论
2n的阶乘和双阶乘并不相等。虽然它们在计算方法上有一些相似之处，但是这两个概念是不同的。因此，在使用阶乘和双阶乘时，需要根据具体情况进行选择。