本文介绍如何证明重心定理，通过垂线定理和中线定理的运用，得出重心定理的结论。
重心定理，又称为重心分割定理或重心位置定理，是解决三角形几何问题中常用的一个定理。下面将介绍如何证明重心定理。
重心定理的表述
在三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，三个顶点的坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。则三角形ABC的重心G的坐标为：
(x,y) = ( (x1 + x2 + x3)/3 , (y1 + y2 + y3)/3 )
证明过程
假设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。以AB边为基准线，作AD垂线，AD与BC交于点E。
由垂线定理可得，AD分割BC为BE和EC两部分，且有：
BE/EC = BD/DC = AB/AC
即：
BE = AB × BD/AC
EC = AC × CD/AB
又因为：
BD + DC = BC
代入BE和EC的公式得：
BE + EC = AB × BD/AC + AC × CD/AB = (AB² + AC² - BC²)/2AB
同理可得，以AC和BC为基准线分别作垂线，得到CF和BG，有：
CF + AF = AC × BD/AB + AB × CD/AC = (AB² + BC² - AC²)/2AC
BG + AG = BC × AE/AB + AB × CE/BC = (AC² + BC² - AB²)/2BC
其中，AE和CE是以AB和BC为基准线作垂线得到的。
由于重心G位于AD、CF和BG三条中线的交点上，因此有：
x = (x1 + x2 + x3)/3
y = (y1 + y2 + y3)/3
即：
x = (1/3) * (x1 + x2 + x3)
y = (1/3) * (y1 + y2 + y3)
将BE + EC、CF + AF和BG + AG的公式带入x和y的公式中，有：
x = (1/3) * [(x1 + x2 + x3) × (AB² + AC² - BC²)/(2AB) + (x1 + x2 + x3) × (AB² + BC² - AC²)/(2AC) + (x1 + x2 + x3) × (AC² + BC² - AB²)/(2BC)]
y = (1/3) * [(y1 + y2 + y3) × (AB² + AC² - BC²)/(2AB) + (y1 + y2 + y3) × (AB² + BC² - AC²)/(2AC) + (y1 + y2 + y3) × (AC² + BC² - AB²)/(2BC)]
将x和y的公式化简，有：
x = (x1 + x2 + x3)/3
y =(y1 + y2 + y3)/3
即三角形ABC的重心坐标为(x,y) = ( (x1 + x2 + x3)/3 , (y1 + y2 + y3)/3 )，也就是重心定理的表述。
结论
通过以上证明过程，可以得出重心定理的结论：在三角形ABC中，重心G位于由三个顶点A、B、C组成的三角形内部，同时，重心G到三边所在直线的距离分别为三角形ABC的中线长的一半。