整函数亚纯函数

科技狂人

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2023-06-15 17:00:20阅读量

本文介绍了整函数和亚纯函数的定义和性质，包括整函数的唯一性定理和最小模定理，以及亚纯函数的留数定理和最大模定理。

在复分析中，整函数和亚纯函数是两个非常重要的概念。下面我们就来一起看看它们的定义和性质。

整函数

定义：如果$f(z)$在复平面上是全纯的，那么$f(z)$就是整函数。整函数是指能够在复平面上任何一点处展开成收敛的幂级数的函数。例如，$e^z$和$\sin z$都是整函数。整函数的性质： 1. 整函数是全纯函数的一种特殊情况，因此整函数在复平面上是无穷次可导的。 2. 整函数在复平面上具有唯一性定理，即如果两个整函数在复平面上的值相等，那么它们在复平面上必须完全相等。 3. 整函数在复平面上具有最小模定理，即如果整函数$f(z)$在复平面上没有零点，那么$f(z)$的模长在复平面上没有最小值。

亚纯函数

定义：如果$f(z)$在复平面上除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么$f(z)$就是亚纯函数。亚纯函数是指能够在复平面上某些点处展开成收敛的洛朗级数的函数。例如，$\frac{1}{z}$和$\frac{\sin z}{z}$都是亚纯函数。亚纯函数的性质： 1. 亚纯函数在复平面上除了孤立奇点外是全纯的，因此亚纯函数在复平面上是无穷次可导的。 2. 亚纯函数在复平面上具有留数定理，即在某个孤立奇点处的留数等于该点处的洛朗级数中$z^{-1}$的系数。 3. 亚纯函数在复平面上具有最大模定理，即如果亚纯函数$f(z)$在复平面上没有极点，那么$f(z)$的模长在复平面上没有最大值。综上所述，整函数和亚纯函数是复分析中的两个重要概念，它们在复平面上具有许多重要的性质和定理，是复分析研究的重要对象。

整函数亚纯函数

整函数

亚纯函数

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