本文介绍了正交矩阵的五个重要性质，包括行（列）向量互相正交、行（列）向量归一化、行列式为1或-1、转置矩阵也是正交矩阵、逆矩阵等于转置矩阵。这些性质为正交矩阵的理论分析和应用提供了坚实的基础。
正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和应用。下面我们就来了解一下正交矩阵的性质。
性质1：正交矩阵的行（列）向量互相正交
正交矩阵的定义是满足矩阵的转置等于矩阵的逆的矩阵，即$A^TA=AA^T=I$。由此可得，正交矩阵的任意两行或两列的内积为0，即行（列）向量互相正交。
性质2：正交矩阵的行（列）向量归一化
正交矩阵的每个行向量的模都是1，即$\left \| a_i \right \|=1$，而且每两个不同的行向量之间的内积为0，即$a_i \cdot a_j=0(i \neq j)$。因此，正交矩阵的行向量是单位向量，并且彼此互相正交。
性质3：正交矩阵的行列式为1或-1
正交矩阵的行列式的值只能是1或-1。证明如下：
由性质1可知，正交矩阵的任意两行或两列的内积为0，因此，这些行或列线性无关。因此，正交矩阵的行列式不为0。又因为正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵，所以正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
性质4：正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵
正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。证明如下：
由正交矩阵的定义$A^TA=AA^T=I$可知，$(A^T)^T A^T = A A^T = I$，即$A^T$也是正交矩阵。
性质5：正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。证明如下：
由正交矩阵的定义$A^TA=AA^T=I$可知，$A^{-1} = A^T$。
正交矩阵具有以上五个性质，这些性质为正交矩阵的理论分析和应用提供了坚实的基础。